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[-].ACCUEIL.

[-].INTRODUCTION.

[I].DE L'ARAIGNEE A LA SOIE.

A).De l’araignée a l’épeire

B).Les organes producteurs de soie

C).Le fil et ses propriétés

A).On se fait une toile ?

B). Modélisation mathématique ?

C).Les toiles en quelques chiffres...

A).Un piège infaillible

B).Une toile nuptiale...

C).L’épeire : une araignée écolo!

B).Une modélisation mathématique ?

Nous avons vu que sa toile avait des formes remarquables (des spirales) et une régularité au sein même de la toile et entre les différentes toiles que l’épeire fabrique au cours de sa vie.

La sous-partie précédente (" la toile pas à pas ") nous à permis de découvrir comment l’épeire arrivait à construire sa toile. Elle suit un schéma, un plan de construction assez précis, et qui semble être toujours identique. Construction régulière, toujours plus ou moins identique… Nous nous sommes donc demandés si l’on pouvait modéliser mathématiquement cette toile.

Pour tenter de réfléchir à une méthode de modélisation, nous avons commencé par effectuer une observation.

Et en effet, nous avons constaté des caractéristiques inhérentes à toute les toiles d’épeire :

• Tous les rayons de la toile sont issus d’un unique centre. Nous l’appellerons " pôle.
• La distance entre deux rayons consécutifs semble à peu près égale (en prenant n’importe quel rayon de la toile.
• Si l’on part du centre de la toile vers l’extérieur, on a successivement :

1. Une zone où il y a une petite spirale, assez " serrée ".
2. Un espace assez " vide ", dans la mesure où il y a assez peu de toile : il y a quelques rayons, mais aucune trace d’une quelconque spirale.
3. Et enfin une dernière zone, qui occupe quasiment toute la surface de la toile jusqu'au " cadre " de la toile : il s’agit apparemment d’une autre spirale.

 

Regardons de plus près les spirales des zones 1 et 3, respectivement " spirale 1 " et " spirales 2 " :

Cliquez ici pour voir une toile avec ses deux types de spirales.

On peut tout d’abord voir une différence entre la spirale 1 et la spirale 2.

La différence observable principale est la suivante : la distance entre chaque spire est constante pour la spirale 2, alors que pour la spirale 1 nous pouvons voir que la distance entre les spires augmente., une spire étant " un arc d’une spirale correspondant à un tour complet autour du pôle " ( Le Dictionnaire de notre temps 1991, HACHETTE – 1991).

Nous avons alors tenté de trouver des spirales qui auraient les particularités suivantes :

• Augmentation de la distance entre les spires après un tour (2p ). [propriété 1]
• Distance entre deux spires successives constante. [propriété 2]

Après quelques recherches, nous avons vite vu que deux spirales particulières correspondaient à ces propriétés : la spirale logarithmique qui vérifie la propriété 1, et la spirale d’Archimède qui vérifie la propriété 2.

Nous avons donc émis les conjectures, les hypothèses suivantes :

La " spirale 1 ", la plus proche du pôle, est une spirale logarithmique.

La " spirale 2 " est une spirale d’Archimède.

N’ayant pas encore étudié les spirales au cours de notre scolarité, nous avons donc voulu savoir ce qu’était une spirale " mathématiquement parlant " !

 

Une spirale est une courbe qui est définie dans un repère polaire. Ce n’est pas un repère cartésien avec des variables x, y et z.

Ce repère polaire est défini par :

Soit un point O pôle du repère.

On pose :

vecteur u, tel que u (q ) = (cos q , sin q )

vecteur v (q ) = u (q +p /2).

On appelle repère polaire le repère R(q ) = (O ; u (q ), v (q ))

Chaque point M(r, q ) est défini dans le repère polaire R(q ) par deux paramètres r et q , r étant un réel appartenant à l’ensemble des réels R avec r = OM et q un angle en radian (q appartient à R).

 

Lorsque q varie de 0 à 2p , le point M effectue en fait un tour autour du pôle O.

Ainsi, si r=10, lorsque q varie de 0 à 2p , c’est un cercle de centre O, de rayon r=10 qui est tracé (figure ci dessous)

Une courbe d'équation polaire R = 10, soit un cercle de rayon 10.

 

Mais si r n’est pas une constante, alors nous voyons que r, soit la distance OM, va varier quand q varie, (quand le point M va effectuer des " tours " autour du point O en quelque sorte).

C’est ainsi que l’on peut tracer des spirales.

L’équation polaire d’une spirale est donc de la forme :

R = a*q + b, a et b appartenant à l’ensemble des réels R, q étant une mesure d’angle en radian.

Voyons ce qu’il en est à propos de la spirale logarithmique sur la toile…

Nous avons tout d’abord voulu voir si l’on pouvait prendre des mesures, n’importe lesquelles, sur cette première petite toile. Hélas, nous n’avons pas réussi à trouver une toile suffisamment bien conservée dans la nature, et même dans les livres et sur Internet, pour que l’on puisse prendre quelques mesures.

En effet, cette spirale étant petite, et l’épeire se plaçant parfois sur cette surface, la spirale est souvent en mauvais état. Cependant, on voit un agrandissement de la distance entre les spires. (on ne peut pas, par contre, prendre de bonnes mesures).

Voyons tout de même ce qu’est une spirale logarithmique plus en détail.

La spirale logarithmique, qui fut découverte par Descartes et Roberval en 1638 , à été très étudiée par Bernoulli un peu plus tard qui admirait sa géométrie et ses particularités.

L’équation polaire d’une spirale logarithmique est de la forme :

r = a * exp( k * q ).

Une spirale logarithmique…

 

 

R est la distance du point M(r, q ), a est un réel, k est l’angle tangentiel polaire qui est constant.

Une des propriétés de cette spirale est que le rapport des distances OM/OM’ = OM’/OM’’ = constante. Et ainsi de suite.

On peut définir une suite géométrique du type : (n+1) = (k*n) avec k un réel fixé, avec n un entier naturel différent de 0 qui est égal à la distance sui sépare le pôle de la n-ième spire.

Si par exemple on étudie la rapport (n+5) / (n+4) on aura :

(n+5) / (n+4) = [ k* (n+4)] / (n+4) = k = constante. La propriété précédente est vérifiée.

Nous aurions donc pu prendre des mesures des distances entre une première spire et le pôle, entre une seconde spire et le pôle, une troisième spire et le pôle (etc), et calculer ensuite le rapport entre ces distances entre elles (OM/OM’ , OM’/OM’’ …), et voir si ces rapports sont constants.

Malheureusement nous n’avons pas pu faire ce type de mesure, les seules mesures que l’on aurait pu faire n’auraient pas été intéressantes puisque que nous en aurions que très peu. De plus, l'épeire se situant parfois en plein de milieu de sa toile, sur le moyeu, elle abîme cette spirale qu'on veut étudier.

Par contre, nous avons trouvé d’assez nombreuses toiles d’épeires qui permettaient un relevé de mesures sur la seconde spirale, spirale que l’on pense être d’Archimède.

Intéressons nous à présent à la spirale d’Archimède.

Cette spirale diffère de la précédente par une particularité observable immédiatement. Là où la spirale logarithmique à un accroissement de la distance entre les spires de plus en plus important, la spirale d’Archimède à comme propriété de garder la même distance entre les spires consécutives.

Une spirale d’Archimède a pour équation polaire : R = a * q + b.

• R est la distance OM avec M(R, q ) du repère polaire, R et q appartenant à l’ensemble des réels. q est une mesure de l’angle de vecteurs (Oz ; OM) en radian.
• a est un paramètre de la courbe, qui appartient à l’ensemble des réels.
• b est un paramètre de la courbe, qui appartient à l’ensemble des réels. b est plus précisément la valeur de R quand q = 0. (voir figure ci-dessous).

La distance entre chaque spire est toujours la même dans une spirale d’Archimède.

Après avoir pris des mesures, nous avons remarqué que si l’on étudiait seulement le " secteur #1 " de la spirale (voir photographie ci-dessus), nous avions toujours un écart entre les spires qui était constant.

Cet écart est toujours d’environ x = 1,1 cm après un agrandissement. (Nous avons pris les mesures sur un agrandissement : en effet, cela est bien plus pratique pour mesurer, et nous avons gardé la même échelle pour l’étude du secteur #2 de la toile. Nous avons ensuite traité l'image afin qu'on puisse prendre des valeurs plus précises (pour accentuer les contours)).

Voir agrandissement secteur #1.

Voir agrandissement secteur #2.

Nous allons pour trouver cette équation procéder en deux étapes pour déterminer respectivement b et a.

Détermination de b.

Il est simple de déterminer b puisqu’il s’agit de la valeur de R quand q = 0.

Il s’agit de la distance à partir de laquelle la spirale d’Archimède commence en quelque sorte.

Nous avons vu que cette distance est d’environ 5 cm. D’où b = 5.

Détermination de a.

Si on appelle x l’écart entre deux spires consécutives, on à successivement:

R2 – R1 = x

• (a*q 2 + b) – (a*q 1 + b) = x
• a*q 2 –a*q 1 = x
• a(q 2 - q 1) = x

On peut en connaissant la valeur de x connaître la valeur de a car :

• on mesure x directement sur la toile : on peut la connaître directement, ici x = 1,1.
• on connaît l’autre valeur : (q 2 - q 1) = " un tour " = 2p .

En remplaçant, on a donc : a(q 2 - q 1) = x

• a = x / (q 2 - q 1)

a = (1,1) / 2p .

On a au final : a = (1,1)/ 2p et b = 5, on peut alors écrire l’équation polaire qui modélise en théorie cette spirale :

R = (1,1 / 2p ) * q + 5 .

Maintenant, voyons s’il en est de même pour le " secteur #2 " de la spirale. Après le même type de mesures, nous voyons qu’il y a toujours une constante quant à la distance entre des spires successives, mais cette constante n’est plus la même que celle du " secteur #1 ".En effet, ici cette constante vaut environ x = 0.8 cm et a pour valeur b = 7 cm.

L’équation de la spirale d’Archimède serait alors la suivante : R' = (0,8 / 2p ) * q + 7.

 Cliquez ici pour visualiser les spirales d'équations R = (1,1 / 2p ) * q + 5 et R' = (0,8 / 2p ) * q + 7 .

Les spirales d’équations R = (1,1 / 2p ) * q + 5 et R = (0.8 / 2p ) * q + 7 ne sont pas les même. En conclusion de cet essai, nous voyons donc que nous n’avons pas pu trouver une seule spirale d’Archimède qui aurait pu convenir pour la modélisation. Par contre, quand nous procédons par " secteur ", par différentes parties et en étudiant la spirale que sur ces parties là, nous pouvons modéliser la spirale sur cette tranche par une spirale d’Archimède dont nous parvenons à trouver une équation polaire. Elle est donc " modélisable " en partie. Mais c’est déjà mieux que rien ! On peut expliquer cela par plusieurs choses et facteurs :

• l’araignée n’est pas un robot. Elle exécute sa toile de façon assez régulière, mais ce n’est pas une machine, elle commet parfois des petites " erreurs ".Ainsi, nous ne pouvons pas savoir si l’araignée fait sa toile en pensant dans sa petite tête : " Hey ! Moi je vais faire une spirale d’Archimède comme modèle de toile! "… Si nous, humains, nous faisons une spirale d’Archimède, on à un but bien précis et des outils précis. Pas elle. On ne peut donc pas vraiment comparer son travail à celui d’une machine ou d’un homme, et lui demander de faire un travail à 100% régulier.
• L’ensemble des forces physiques qui s’appliquent à la toile et à l’araignée lorsqu’elle la tisse. Je pense que le travail de la gravité terrestre, entre autre, n’est pas négligeable du tout !

Au centre de la toile, nous pensons donc qu’il y a une spirale logarithmique, mais nous n’avons pas pu le vérifier. La " seconde " spirale semble donc être une spirale d’Archimède, mais quelque peu modifiée par les forces physiques qui s’appliquent dessus.

Notre seconde hypothèse s’approche donc assez de la réalité.

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